\chapter{Úvod}

Druhá polovina minulého století přinesla do teorie řízení nové přístupy  založené na stavovém popisu systémů. Oproti klasickým metodám, kdy je úlohou navrhnout konstanty regulátoru pro systém daný vnějším popisem, využívá moderní teorie řízení vnitřní popis a problém návrhu regulátoru formuluje jako optimalizační úlohu.  Ladící parametry návrhu jsou v~prvním případě konstanty regulátoru (z~nich lze uspokojivě vypočítat strukturu pólů uzavřené smyčky a odhadnout odezvy systému), zatímco v~druhém případě jsou nastavovány parametry kritéria optimalizace.

Kvadraticky optimální regulátor se řadí mezi hlavní výsledky moderní teorie řízení. V~jeho kritériu se objevují kvadráty stavů a vstupů do systému, které jsou vážené příslušnými váhovými maticemi. Minimalizujeme tedy kritérium
\[
J = \int_0^\infty x^{\rm T}(t)Qx(t) + u^{\rm T}(t)Ru(t) {\rm d}t.
\]
Váhové matice poté slouží jako ladící parametry pro návrh regulátoru.  Je však obtížné dosáhnout požadované dynamiky, protože vztah mezi váhovou maticí a polohou pólů regulačního obvodu je komplikovaný. Návrh poté probíhá metodou pokusů a omylů, kdy měníme váhové matice až do té doby, kdy dostáváme odezvy podle našich představ. Obvykle začínáme od diagonálních váhových matic, až poté volíme komplikovanější matice. Tento cyklický postup může být rychle proveden -- pro systémy s~málo stavy, ale pro větší systémy jsou vazby v~složitější a volba váhových matic může trvat hodně času.

Důvodem, proč návrhář regulačního obvodu sáhne po kvadratickém kritériu, jsou příznivé vlastnosti kvadraticky optimálních obvodů. Jedná se zejména o~asymptotickou stabilitu, která je za určitých podmínek vždy splněna. Další velkou výhodou jsou i robustní vlastnosti, amplitudová bezpečnost je v~intervalu $(1/2,\,\infty )$ a fázová bezpečnost je alespoň $60$ stupňů \citep[Sekce 5.4]{AndersonMoore}. Tyto vlastnosti převyšují důležitost zvolených váhových matic.

	Jinou metodou návrhu regulačních obvodů využívající vnitřní popis je metoda umísťování pólů. Poloha pólů je v~tomto případě ladícím parametrem, který přímo souvisí s~požadovanou dynamikou. Jisté komplikace této metody jsou, když měníme polohu celé sady pólů otevřené smyčky. Potom se odezva mění nekontrolovaným způsobem.
 
Nabízí se obě metody kombinovat -- umísťovat póly kvadratickým kritériem. Problém, jak zvolit váhové matice tak, abychom dosáhli požadované sady pólů, je starý skoro jako kvadraticky optimální řízení samotné. Setkáváme se s~dvěma přístupy. 
\begin{description}
\item[Umístění do dané oblasti v~komplexní rovině] Umístění do zvolené poloroviny bylo odvozeno v~\citep{anderson69}, do zvoleného kruhu v~komplexní rovině v~\citep{furuta87},  do oblasti omezené hyperbolou  v~\citep{kawasaki83} a do  zvoleného sektoru komplexní roviny v~\citep{hench98}. 
\item[Přesné umístění pólů]  Jedná se o~komplikovanější metodu. Setkáme se   s~různými přístupy k~řešení tohoto problému, které jsou vhodné pro různé druhy systémů. Prakticky všechny metody přistupují k~řešení nejprve diagonalizací systému a následnou analýzou buď Hamiltonovy matice \citep{solheim}, \citep{kucera99}, \citep{kraus99} a \citep{saif89} nebo umístění vlastních vektorů uzavřené smyčky \citep{alexandridis}, případně analýzou matice dynamiky uzavřené smyčky \citep{duplaix94} a \citep{duplaix95}.
Jiný přístup je popsán v~\citep{amin84}, kdy jsou posunovány reálné části pólů mnoharozměrových systémů opakovaným výpočtem Lyapunovovy rovnice nebo v~\citep{sugimoto}, kde je s~pomocí polynomiální zlomkové reprezentace systému načrtnuta maximální přípustná oblast, kam lze posunout póly kvadratickým kritériem.
\end{description}
Tato práce vychází z~\citep{kucera99} a rozšiřuje dosavadní výsledky na systémy s~více vstupy. Posunování pólů bude realizováno pól po pólu (v~každé iteraci se přemísťuje pouze jeden pól, ostatním je poloha zachována). Cílem bude nejenom najít vztahy mezi váhovými maticemi kritéria a polohou posunovaného pólu, ale zejména vymezit oblast, kam lze kvadratickým kritériem jednotlivé póly přemístit pro případ reálných nebo komplexně sdružených pólů.

Práce bude organizována následovně: nejprve bude v~kapitole \ref{chap:teoretickyUvod} uveden teoretický úvod, kde budou zavedeny pojmy z~oblasti umísťování pólů a kvadraticky optimálního řízení potřebné pro další odvozování. Následovat bude kapitola \ref{sec:prerekvizity} prezentující základní matematické formalizmy používané při posunování pólů. Poté bude v~kapitole \ref{chap:real} rozebráno posunování reálných pólů, následováno kapitolou \ref{chap:imag} o~přemísťování komplexně sdružených dvojic pólů. Celou práci uzavře závěr v~kapitole \ref{chap:zaver}.

Od čtenáře tohoto textu se očekává znalost lineární algebry (matice, vektor, vektorový prostor, determinant, lineární zobrazení, vlastní vektor, Jordanův kanonický tvar, matice speciálních typů; čerpat lze z~\citep{krajnik}), matematické analýzy (diferenciální počet, optimalizační metody, variační počet; čerpat lze z~\citep{tiser} a \citep{ORR}) a teorie dynamických systémů (stavový popis systému, stabilita, řiditelnost, pozorovatelnost, stabilizovatelnost, detekovatelnost; čerpat lze z~\citep{linearSystemsPrimer}).

